函数

本质

从一个集合到另一个集合的映射规则

可以源于“天然”

也可以“人工”创造，如狄利克雷函数

Q：狄利克雷函数的图像应该是什么样？

客观存在，然而无法画出

表示形式

解析式：y = sinx
文字描述：自变量为无理数时因变量取值0，有理数时取值1
列表法

三要素

定义域(整数域，实数域，复数域…)
值域(整数域，实数域，复数域…)
映射法则(将定义域映射到值域)

注意！不是所有的映射法则都可以构成函数。同一个自变量，在值域中有且只能有一个因变量与之对应

极限

定义

什么叫无限逼近某一个量？
这个量可以“到达”吗？
正式定义：

连续

直观上

不断裂
不跳跃
处处相连

定义

设函数f(x)在点x0的某个领域内（例如（x0 - 0.0001，x0 + 0.0001））有定义，如果有：

则称函数f(x)在点x0处连续，x0称为函数f(x)的连续点。

函数在连续点的极限就是连续点的函数值！

导数

定义

几何意义

函数图像上一点的导数的值为在该点切线的斜率，代表了函数在该点的变化率

导数计算

常用函数的导数

导数运算法则

代码演示

迭代法求解二次函数最小值

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython import display

#定义二次函数
def f(x):
    y = x**2
    return y

# 定义对应的导数
def d(x):
    dy = 2*x
    return dy

# 操作者输入指定的x初始值
x = float(input("请输入x的初始值："))

# 定义学习率
lr = 0.9

# 准备一段二次函数数据点
x_temp = np.linspace(-x, x, 1000)
y_temp = x_temp**2

while abs(x) > 0.01:
    display.clear_output(wait=True)   # 用于清空之前的输出
    plt.clf()                         # 清除之前的列表
    plt.plot(x_temp, y_temp)
    plt.scatter(x, f(x), s=30, c='red')
    plt.show()
    print("此时x的值为：", x)
    plt.pause(0.7)
    %matplotlib inline
    dy = d(x)
    x -= lr * dy
else:
    display.clear_output(wait=True)   
    plt.clf()
    plt.plot(x_temp, y_temp)
    plt.scatter(x, f(x), s=30, c='red')
    plt.show()
    print("最终x的值为：", x)

结果：

二阶导数

“阶”：几阶就对函数求几次导

微分

定义：

当自变量x的变化趋于无穷小时（dx），因变量f(x)的变化情况（df(x)）

导数和微分
- 导数：函数在某一点的变化率
- 微分：函数在某一点的变化量
- 联系：函数的变化量与自变量变化量之比即为导数

链式法则

嵌套函数：

如何求y相对于z的导数？

看似简单，但是链式法则的真面目是·······

神经网络优化原理——反向传播的基石！～

偏导数

本质：

仅仅因为是多元函数的导数，所以多了一个“偏”字
求解的过程和导数无异，将其他变量视作常量

方向导数

几何上，偏导数沿着自变量方向…

能不能沿任意方向求导数?——可以

一元函数中，自变量在函数曲线上只能沿着两个方向移动
多元函数中，自变量在函数曲面上可以沿着无穷多个方向移动
多元函数中，函数的变化不仅与移动距离有关，和移动方向亦有关

方向余弦

定义：向量与三个（或两个）坐标轴之间的角度的余弦：

方向导数求解

令l的方向余弦为：

令t = ｜P’ P｜，则点P’可表示为：

[fx fy]：梯度
后一部分：l方向的方向余弦，且其长度为1

显而易见，函数f(x)在l方向上的导数就是在该点的梯度和l方向的方向余弦的内积

Tips：当两部分方向一致的时候，他们的内积最大，梯度的方向是函数变化最快的方向。

梯度

定义

梯度的方向是函数变化最快的方向
各个方向的偏导数构成的向量

人工智能中为什么要用梯度下降算法？——几乎很少有情形是可以直接求出解析解的
- 解析解：可以直接计算出的精确解
- 数值解：用数值方法逼近求的近似解

然而对于更复杂一些的函数······

局部极小值点
驻点
学习率（步长）的大小
初始化方法
·······

梯度下降

进行迭代：

结果：

积分

代码演示

对规则图形求面积

绘制一条曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython import display

x_temp = np.linspace(1, 10, 1000)
y_temp = 2*x_temp + 3

%matplotlib inline
plt.plot(x_temp, y_temp)
plt.xlim(0,11)
plt.show()
# display.clear_output(wait=True)

输入区间，计算面积

def reg_area(p1, p2):
    # p1, p2: 点的坐标
    if p1[0] < 0 or p1[1] < 0 or p2[0] < 0 or p2[1] < 0:
        print("点坐标为负，非法！")   # 若点的坐标有负值，则不可计算
        return -1
    height = abs(p2[0] - p1[0])  # 求梯形的高
    l1 = p1[1]   # 求一个底的长
    l2 = p2[1]   # 求另一个底的长
    area = (l1 + l2)*height/2
    return area

def f1(x):
    return 2*x+3

x1 = float(input("请输入第一个点的横坐标值："))
x2 = float(input("请输入第二个点的横坐标值："))
y1 = f1(x1)
y2 = f1(x2)
area = reg_area((x1, y1), (x2, y2))
print("此梯形的面积为：", area)

结果：

近似求解不规则图形的面积

绘制一条曲线

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from IPython import display

def f(x):
    return x**2+4

def irr_area(x1, x2, intervals = 1000):
    if x1 <= x2:
        x_left = x1
        x_right = x2
    else:
        x_left = x2
        x_right = x1
    dx = (x_right-x_left)/intervals
    area = 0
    x_temp = x_left
    for i in range(intervals):
        area_temp = dx * (x_temp**2+4)
        area += area_temp
        x_temp += dx
    return area

x1 = float(input("请输入第一个点的横坐标值："))
x2 = float(input("请输入第二个点的横坐标值："))
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)

x_temp = np.linspace(x1, x2, 1000)
y_temp = f(x_temp)
plt.plot(x_temp, y_temp)
plt.show()
%matplotlib inline

近似求解，设定40次，越往后矩形分割的越小，值越精准

1
2
3

for i in range(40):
    area = irr_area(-5, 6, 500*(i+1))
    print("此函数图像在这两点与横坐标轴之间围成的图形面积近似为：", area)

结果：

定义

矩形块的面积与曲线围城的面积误差越来越小

黎曼积分：在闭区间[a,b]上若不同的取样方法获得的黎曼积分和最终都趋于同样的极限，则称该极限为黎曼积分

牛顿—莱布尼兹公式

定义

F(x)：f(x)的原函数
C：常数
a，b：积分区间

意义

提供了求积分问题的有效方法
- 反向求出被积函数的原函数
- 将复杂的积分运算转化为简单的加减运算
架起了微分学和积分学之间的桥梁
- 历史上微分学和积分学起初是独立发展的
被称为“微积分基本定理”

Question：一个值恒为正的函数，考虑其几何意义，我们通过积分求出的值，是它和X轴围成面积的准确值，还是一个极度逼近的近似值?

Answer：准确值

泰勒展开

定义

最后一项称之为余项，分为拉格朗日余项和皮亚诺型余项

所有函数均可由多项式函数拟合
- 多项式函数：易于计算，可以快速获得结果
所有的复杂函数都是用泰勒展开转换成多项式函数计算的
泰勒展开是有适用范围的
当a=0时，泰勒公式被称之为麦克劳林公式，泰勒展开称之为麦克劳林展开

常用函数的泰勒展开式

如何理解

用多个函数拟合一个函数！～