为什么需要数学

在古代，就已经有了精密的数学体系，比如沟渠的建造，算盘等。
在现代，航空工程等各方面都需要极其精密的计算。

人类如何表示数字

史前文明：结绳记事

四大文明古国：都发明了各自的文字

古玛雅文明：零和进位的提出

计算机可以做什么

图像处理、音频处理、模型创建、游戏······

0和1如何去做运算

二进制与十进制的转换

计算机如何处理二进制数据

逻辑电路

计算机为什么会产生理论上的误差

0.1+0.2=0.3，但是计算机输出的结果为：0.3000000000000004

原因：十进制小数如何转换为二进制（乘2取整法）

如何看待这个误差？
解决办法：
- 将小数扩大成整数后运算
- 提高计算机可表达数的精度

Tips：这是二进制独有的问题吗？答：并不是噢

人工智能如何运转

1、利用计算机强大的算力，按照AI模型的规则，实现特定的逻辑推断任务。

2、AI模型的建立和训练高度依存于相应的数学体系。

人工智能需要什么数学知识

微积分
线性代数
概率&统计
图论

函数

更抽象一点……

x, y,…(自变量) ⟹ f (函数) ⟹ z(因变量)

导数（一元函数）

运动问题（y:位移，x:时间）

导数定义

y被称作y′的原函数，y′被称作y的导函数(导数)

微分定义

微分：当自变量x的变化趋于无穷小时(dx)，因变量f(x)的变化情况(df(x))

常用函数的导数

导数的运算法则

偏导数（多元函数）

线性代数

今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?——孙子算经

线性方程组是由什么唯一确定的？

未知量的个数？
方程的个数？
系数的个数与值？
表记未知量的符号？······

答案：系数的个数与值！！

对线性方程组的抽象→矩阵

矩阵的加减法——•对应位置元素做运算：

矩阵的标量乘法——每一个元素均乘以该常数：

矩阵的向量乘法——第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等：

要点：第一个矩阵M1大小：m×n，第二个矩阵M2大小：n×k，则M1与M2相乘得到的结果矩阵Mres的大小为： m×k

矩阵的转置：

矩阵（方阵）的逆：

概率&统计

• 平时不好好学习，考试的时候不确定能否及格

• 太阳一定是从东方升起的

• 我们绝对不可能先经历明天再经历昨天

• 赌徒有可能在赌场用一百美元赢到一千万美元

概率的数值范围：0≤P≤1
- P=0：不可能事件
- P=1：必然事件
- 0<P<1：随机事件 ⟸ 概率学关注的重点
抛硬币：
- 正面or反面
- 概率相等——1/2
- 每一次抛掷都是一次随机事件

抛硬币：

单次抛掷，正面朝上反面朝上概率都是1/2，那第一次第二次都出现正面朝上的概率如何计算？

答：这一事件由两个先后步骤组成：第一次抛掷和第二次抛掷事件的概率由两步骤各自的概率相乘得到：

Wait, 为什么事件的概率要由步骤的概率相乘得到？

总共四种情况，两次抛掷均为正面的情况只占一种，所以最终概率=1/4事件经由多个步骤完成，最终可能的结果种类是每一步可能结果数量相乘得到的。

联合概率

A事件（第一次抛掷正面朝上）发生的概率用P(A)表示
B事件（第二次抛掷正面朝上）发生的概率用P(B)表示
A和B同时发生的概率用P(AB)或P(A,B)表示
若A和B是相互独立的，则P(AB)=P(A)P(B)
若A和B不是相互独立的，则P(AB)=？
甲是普通人，抛硬币正面朝上的概率如前所述，乙是赌神，可通过小技巧使正面朝上的概率是0.7，那我们怎么描述让乙来抛硬币时正面朝上的概率？直接说P=0.7?

Why 同一事件（抛掷硬币正面朝上）对于不同的操作者而言，其对应的概率却不相同?

Key: 事件的先决条件不同

条件概率

在某个先决条件已发生的情况下，某一事件发生的概率
先决条件与讨论的事件是有关联的
A为先决条件（操作者是赌神还是普通人），B为讨论的事件（抛掷硬币正面朝上），则当A已确定的情况下，B发生的概率表示为：P(B|A)

联合概率&条件概率的联系

若A和B是相互独立的，则P(AB)=P(A)P(B)
若A和B不是相互独立的，如何计算P(AB)?
Key: P(AB) = P(B|A)P(A)
情景：从赌神和普通人中随机选一个人抛硬币
- P(A): 从两个人中选出赌神的概率，等于0.5
- P(B|A): 选定赌神的情况下，他抛出正面朝上的概率，等于0.7
- P(AB): 从两个人中选出赌神并抛出正面朝上的概率，等于0.35
第一次，第二次抛掷都是正面朝上，第三次抛掷还出现正面朝上的概率是1/2吗？